简介:感谢网友“牟又槐”参与投稿，下面是小编为大家准备的线性代数教学总结（共17篇），欢迎阅读借鉴。
1、行列式的重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值。
2、矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵等重要概念外，主要也是运算，其运算分两个层次：
（1）矩阵的符号运算。
（2）具体矩阵的数值运算。
3、关于向量，证明（或判别）向量组的线性相关（无关），线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关（无关）的概念及几个相关定理的掌握，并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。
4、向量组的极大无关组，等价向量组，向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。
5、于特征值、特征向量，要求基本上有三点：
（1）要会求特征值、特征向量，对具体给定的数值矩阵，一般用特征方程OλE-AO=0及（λE-A）ξ=0即可，抽象的由给定矩阵的特征值求其相关矩阵的特征值（的取值范围），可用定义Aξ=λξ，同时还应注意特征值和特征向量的性质及其应用。
（2）有关相似矩阵和相似对角化的问题，一般矩阵相似对角化的条件。实对称矩阵的相似对角化及正交变换相似于对角阵，反过来，可由A的特征值，特征向量来确不定期A的参数或确定A，如果A是实对称阵，利用不同特征值对应的.特征向量相互正交，有时还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2（λ2≠λ1）对应的特征向量，从而确定出A.
（3）相似对角化以后的应用，在线性代数中至少可用来计算行列式及An.
6、将二次型表示成矩阵形式，用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个：
（1）化二次型为标准形，这主要是正交变换法（这和实对称阵正交相似对角阵是一个问题的两种提法），在没有其他要求的情况下，用配方法得到标准形可能更方便些。
（2）二次型的正定性问题，对具体的数值二次型，一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别，而抽象的由给定矩阵的正定性，证明相关矩阵的正定性时，可利用标准形，规范形，特征值等到证明，这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件。
线性代数知识点总结
第一章行列式
知识点1：行列式、逆序数
知识点2：余子式、代数余子式
知识点3：行列式的性质
知识点4：行列式按一行（列）展开公式
知识点5：计算行列式的方法
知识点6：克拉默法则
第二章矩阵
知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律
知识点8：矩阵的乘法运算及运算律
知识点9：计算方阵的幂
知识点10：转置矩阵及运算律
知识点11：伴随矩阵及其性质
知识点12：逆矩阵及运算律
知识点13：矩阵可逆的判断
知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算
知识点15：矩阵方程的求解
知识点16：初等变换的概念及其应用
知识点17：初等方阵的概念
知识点18：初等变换与初等方阵的关系
知识点19：等价矩阵的概念与判断
知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式
知识点21：矩阵的秩的概念与判断
知识点22：矩阵的秩的性质与定理
知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算
知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例
第三章向量
知识点25：向量的"概念及运算
知识点26：向量的线性组合与线性表示
知识点27：向量组之间的线性表示及等价
知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念
知识点29：线性表示与线性相关性的关系
知识点30：线性相关性的判别法
知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念
知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系
知识点33：求向量组的最大无关组
知识点34：有关向量组的定理的综合运用
知识点35：内积的概念及性质
知识点36：正交向量组、正交阵及其性质
知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法
知识点38：向量空间（数一）
知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）
知识点40：基变换下的坐标变换（数一）
第四章 线性方程组
知识点41：齐次线性方程组解的性质与结构
知识点42：非齐次方程组解的性质及结构
知识点43：非齐次线性线性方程组解的各种情形
知识点44：用初等行变换求解线性方程组
知识点45：线性方程组的公共解、同解
知识点46：方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系
知识点47：方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例
第五章矩阵的特征值与特征向量
知识点48：特征值与特征向量的概念与性质
知识点49：特征值和特征向量的求解
知识点50：相似矩阵的概念及性质
知识点51：矩阵的相似对角化
知识点52：实对称矩阵的相似对角化.
知识点53：利用相似对角化求矩阵和矩阵的幂
第六章二次型
知识点54：二次型及其矩阵表示
知识点55：矩阵的合同
知识点56 : 矩阵的等价、相似与合同的关系
知识点57：二次型的标准形
知识点58：用正交变换化二次型为标准形
知识点59：用配方法化二次型为标准形
知识点60：正定二次型的概念及判断
线性代数知识点总结
线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，太奇考研专家们提醒广大的的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对考研的同学们学习有帮助。
行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《20xx年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。
矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。
向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。
往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论).主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。
特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化.重点题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、由特征值或特征向量反求A、有关实对称矩阵的问题。
由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础.重点内容包括：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩和标准形等概念;了解二次型的规范形和惯性定理;掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形;理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法.重点题型有：二次型表成矩阵形式、化二次型为标准形、二次型正定性的判别。
一、行列式与矩阵
行列式、矩阵是线性代数中的基础章节，从命题人的角度来看，可以像润滑油一般结合其它章节出题，因此必须熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式——具体行列式的计算和抽象行列式的计算。其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型，主要方法是应用行列式的性质及按行(列)展开定理化为上下三角行列式求解;而对于抽象行列式而言，考点不在如何求行列式，而在于结合后面章节内容的相对综合的题。
矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵各种运算律、矩阵的基本性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩、初等矩阵等。
二、向量与线性方程组
向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，而其后两章特征值和特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。
向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。
这部分的重要考点一是线性方程组所具有的两种形式——矩阵形式和向量形式;二是线性方程组与向量以及其它章节的各种内在联系。
(1)齐次线性方程组与向量线性相关、无关的联系
齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立——印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。
齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解;②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立;但向量部分中判断向量组是否线性相关、无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系——齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关、无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。
(2)齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系
同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过 “秩→线性相关、无关→线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。
(3)非齐次线性方程组与线性表出的联系
非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量
三、特征值与特征向量
相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关性，“牵一发而动全身”。
本章知识要点如下：
1. 特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。
2. 相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似、等价与合同：
3. 矩阵可相似对角化的条件，包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件一是n阶矩阵有n个线性无关的特征值;二是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。
4. 实对称矩阵及其相似对角化，n阶实对称矩阵必可正交相似于以其特征值为对角元素的对角阵。
四、二次型
这部分所讲的内容从根本上讲是特征值和特征向量的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵，必存在正交矩阵，使其可以相似对角化”，其过程就是上一章实对称矩阵相似对角化的应用。
本章核心要点如下：
1. 用正交变换化二次型为标准型。
2. 正定二次型的判断与证明。
线性代数的教学反思
（摘要）由于线性代数中的基本概念和性质较多且较抽象、知识连贯性较强，致使大多学生感到学习较困难，学习兴趣下降。为了摆脱枯燥乏味的学习，提高学生的学习积极性，本文给出了在实际教学中的五个注重。
（关键词）建构 趣味性 概念图
（Abstract）Due to the basic concepts and properties in linear algebra are more abstract， and the knowledge consistency is very strong， resulting in the majority of students feel it difficult to learn and lose interest in learning. In order to get rid of the tedious learning， enhance the enthusiasm of students， this paper gives five focus on practical teaching.
（Key Words）linear algebra； teaching
引言
线性代数课程是全国高等院校开设的一门重要的基础课程，它不仅是学生学习后续课程的基础而且在生活中具有较强的实用性。但是由于我校学生数学基础较差、数学思维能力较弱，因此大多学生普遍反映线性代数课程枯燥无趣、计算繁琐，毫无实际意义。要想改变现状，提高学生的兴趣，学好线性代数这门课程，笔者通过教学实践和反思，认为在线性代数的教学中应注意以下五点。
1.注重在原有知识上建构新知识
要让学生明确，他们所要学习的知识内容是和他们自身息息相关的。最基本的方法就是让学生意识到将要学习的知识内容与他们过去的经验或已经掌握的知识相关，充分利用他们已有的概念、知识来解释建构新概念、新知识。这样引入新知识不显突兀，而且便于学生接受。例如：行列式定义的引入。
在中学，同学们已经学习而且牢牢掌握了如何解线性方程组，因此可从一般的二元、三元线性方程组的求解出发，引入二阶、三阶行列式的定义，即由已知探索未知。
通过对一般的二元、三元线性方程组的求解，引入二阶、三阶行列式的定义式，后继学习中引导学生观察二阶、三阶行列式计算式中的项数、每一项元素的特点及符合特征，进而让学生自己尝试定义n阶行列式。得出n阶行列式的定义后，让学生思考：在什幺条件下可以利用n阶行列式表示n元线性方程组的解等问题。诸如此类问题的提出可以激发学生的求知欲、探索欲望，提高其学习线性代数的兴趣。
2.注重教学过程的趣味性[2]
俗话说，兴趣是最好的的老师，人们常常关注那些引起他们情绪反应或自己感兴趣的事物，而对那些缺乏兴趣的事物不愿多关注，因此，富有变化、新颖有趣的教学过程，能提高学生的学习兴趣[3]。例如在讲解定理“任一排列经一个对换后奇偶性改变”的证明之前，可以用与该证明思路相类似的生活例子去引导。即：10个1至10岁的小朋友随意的站成一排。问题1.任意对换两个小朋友的位置分几种情况？问题2.对换两个相邻小朋友的位置，队中每个小朋友右侧比他自己年龄大的.人数是否改变？问题3.对换两个不相邻小朋友的位置后得到的新队形，如何由仅仅对话相邻两个小朋友的位置得到？这样的定理证明类比过程，会让学生感觉定理的证明不再那幺枯燥难懂，这样不仅可以提高学生的参与度，而且可以提高学生学习数学的自信心、兴趣和积极性。
3.注重教学过程中概念图的使用
概念图[4]是用节点代表概念，用连线代表概念间关系的一种图示法。在日积月累、循序渐进的学习过程中，为了有效地将所学知识、概念紧密的联系再一起，可以建立一个个概念图，进而有利于学生系统的、整体的把握所学知识。如图1的行列式概念图，借助图该概念图，有益于学生对行列式相关知识的掌握，从整体上理解掌握各知识点之间的联系，尽而达到学习事半功倍的效果。
4.注重知识概念的“相同”和“不同”
通过比较发现两种不同事物的“相同”和“不同”，针对相同之处，进行归纳总结，针对不同之处，分析其原因，深化理解记忆。比如：矩阵的学习中，关注以下几组公式的相同，通过归类总结便于学生记忆及应用。
在关注相同之余，注重不同。比如：行列式的加法仅仅是对同一行（列）的元素进行相加，但其他各行（列）元素不变； 而矩阵的加法则是两个相同行数、相同列数的矩阵对应位置上的元素均相加。再比如：数乘行列式仅仅是对某一行（列）的元素乘以该常数，而数乘矩阵则是该常数乘以矩阵的每一个元素。诸如此类的总结，对于学生的知识记忆和完善知识结构有一定的实际意义。
5.注重知识在生活中的应用
线性代数不仅与实际生活息息相关，而且具
有非常广泛的实用性。在现实生活中，一些比较难以解答的问题，倘若能将其转化为数学问题，且用线性代数相关知识去解答，这些问题将会得到比较简单的解决方法。比如：指派问题[5]，即欲分配n个人去做n项工作，每个人做且仅做一项工作，若分配第i个人去做第j项工作，需花费cij单位时间，则如何分配工作才能使工人花费的总时间最少？该问题的求解如下：定义矩阵A=（xij）nxn，其中xij=1，第i人做第j项工作0，第i 人不做第j项工作，则该矩阵的每一行、每一列的元素之和等于就是该问题所满足的约束条件即线性方程组：=1，j=1，…n，，那幺满足该条件使目标函数：min达到最小值的解即是所求。总之，无论是数学的学习，还是其他课程的学习，都应该注重应用，让学生知道有什幺用如何用，这样才能引起他们的重视，提高学生学习的积极性。
参考文献：
[1]陈凤娟.线性代数的教学研究[J].高师理科学刊.，32（1）.
[2]赵婷.线性代数的课堂趣味性教学研究[J].北京工业职业技术学院学报..15（2）.
[3]王跃恒，李应求.关于以学生为中心的线性代数教学研究[J].中国大学教学.，8（1）.
[4]王文文，金花等.“问题串―概念图”在线性代数教学中的应用研究[J].价值工程.2016，33（1）.
[5]司守奎，孙玺菁.数学建模算法与应用[M].国防工业出版社.2016，7.
2012考研数学线性代数题型总结
》考研复习的强化阶段已经结束，在这段时间，大家应该把所学的知识系统化综合化。数学题目千变万化，有各种延伸和变形，考生如果想在考研数学中取得好成绩，就一定要认真仔细的复习，重视三基(基本概念、基本方法、基本性质)，多思考多总结，做到融会贯通。教材把线性代数的内容分为了六章：行列式、矩阵、线性方程组、向量、特征值和特征向量、二次型。考生在做题过程中，应该能发现，线性代数部分考察的知识点和题型都相对固定，以下我们针对考研数学，对线性代数部分的常考题型进行总结：一、行列式常考的题型有：1.数值型行列式的计算，2.抽象型行列式的计算。
二、矩阵常考的`题型有：1.对矩阵的运算的考查，2.对逆矩阵的考查，3.初等变换，4.矩阵方程，5.矩阵的秩，6.矩阵的分块。
三、线性方程组与向量常考的题型有：1.向量组的线性表出，2.向量组的线性相关性，3.向量组的秩与极大线性无关组，4.向量空间的基与过渡矩阵，5.线性方程组解的判定，6.齐次线性方程组的基础解系，7.线性方程组的求解，8.同解与公共解。
四、特征值与特征向量常考的题型有：1.特征值与特征向量的定义与性质，2.矩阵的相似对角化，3.实对称矩阵的相关问题，4.综合应用。
五、二次型常考的题型有：1.二次型及其矩阵，2.化二次型为标准型，3.二次型的惯性系数与合同规范型，4.正定二次型。
kaoyan/《线性代数》教学的一些思考论文
[摘要]
《线性代数》是工科高校中颇为重要的一门课，也是较抽象难学的一门课程。本文从理论与实践两方面以作者的体会与认识，提出《线性代数》教学抽象概念的讲解应注意的几点问题，阐释了如何进行《线性代数》课程的课堂教学，并且能收到良好的教学效果。
[关键词]
线性代数；数学概念；教学方法
《线性代数》是高等院校理、工类专业重要的数学基础课。它不但广泛应用于概率统计、微分方程、控制理论等数学分支，而且其知识已渗透到自然科学的其它学科，如工程技术、经济与社会科学等领域。不仅如此，这门课程对提高学生的数学素养、训练与提高学生的抽象思维能力与逻辑推理能力都有重要作用。但由于“线性代数”本身的特点，对其内容学生感到比较抽象，要深入理解与掌握代数的基本概念与基本理论学生感到相当吃力、难以理解。因此，为培养与提高学生应用数学知识、解决实际问题的能力，进一步研究这门课程的教学思想和方法对提高教学效果甚为重要。
一、加强基本概念的教与学
线性代数这一抽象的数学理论和方法体系是由一系列基本概念构成的。行列式、矩阵、逆矩阵、初等矩阵、转置、线性表示、线性相关、特征值与特征向量等抽象概念根植于客观的现实世界，有着深刻的实际背景，即是比较直接抽象的产物。高等数学与初等数学在含义与思维模式上的变化必然会在教学中有所反映。线性代数作为中学代数的继续与提高，与其有着很大不同，这不仅表现在内容上，更重要的是表现在研究的观点和方法上。在研究过程中一再体现由具体事物抽象出一般的概念，再以一般概念回到具体事物去的辨证观点和严格的逻辑推理。新生刚进入大学，其思维方式很难从初等数学的那种直观、简洁的方法上升到线性代数抽象复杂的方式，故思维方式在短期内很难达到线性代数的要求。大部分同学习惯于传统的公式，用公式套题，不习惯于理解定理的实质，用一些已知的定理、性质及结论来推理、解题等。
在概念的教学中，教师要研究概念的认识过程的特点和规律性，根据学生的认识能力发展的规律来选择适当的教学方式。因此，在概念教学中应注意以下几点。
1.合理借助概念的直观性
尽管抽象性是《线性代数》这门课的突出特点，直观性教学同样可应用到这门课的教学上，且在教学中占有重要地位。欧拉认为：“数学这门科学，需要观察，也需要实验，模型和图形的广泛应用就是这样的例子。”直观有助于概念的引入和形成。如介绍向量的概念，尽管抽象，但它具有几何直观背景，在二维空间、三维空间中，向量都是有向线段，由此教学中可从向量的几何定义出发讲解抽象到现有形式的过程，降低学生抽象思考的难度。
2.充分利用概念的实际背景和学生的经验
教师在教学中应充分利用学生已有的数学现实和生活经验，引导和启发学生进行概念发现和创造。如在讲解n阶行列式，首先从学生已掌握的二元、三元一次方程组的求解入手，然后求出方程组的解由二阶、三阶行列式表示，分析二阶、三阶行列式的特点。
二阶行列式，不难看出：它含有两项，若不考虑符号，每项均是来自不同行不同列的两个元素的乘积，那么会提出这样的问题：右边各项之前所带的正负号有什么规律？同样的，三阶行列式若不考虑符号，它含有3！=6项，每项也是来自不同行不同列的三个元素的乘积，并且包含了所有由不同行不同列的三个元素的组合。为解决n阶行列式，又引出排列的概念、性质，介绍奇偶排列后，又回到我们提出的问题上，可以发现，行标按自然排列，列标排列为奇排列时，该项为负；列标排列为偶排列时，该项为正（问题得到解决）。经过这一过程，学生对n阶行列式已有接触和了解，此时可给出n阶行列式定义，这样一来，学生就容易理解和掌握n阶行列式的性质了。
3.注意概念体系的建立
R.斯根普指出：“个别的概念一定要融入与其它概念合成的概念结构中才有效用。”数学中的概念往往不是孤立的，理解概念间的联系既能促进新概念的引入，也有助于接近已学过概念的本质及整个概念体系的建立。如矩阵的秩与向量组的秩的联系：矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩；矩阵行(列)满秩，与向量组的线性相关和线性无关也有一定的联系。
二、学生要掌握科学的学习方法
学习重在理解，学生必须在理解、领悟其深刻含义的基础上记忆定义、定理及一些结论，才能收到理想的效果。线性代数的最大特点就是：知识体系是一环扣一环，环环相连的`。前面的知识是后面学习的基础，如用初等变换求矩阵的秩熟练与否，直接影响求向量组的秩及极大无关组，进一步影响到求由向量组生成的向量空间的基与维数；又如求解线性方程组的通解熟练与否，会影响到后面特征向量的求解，以及利用正交变换将二次型化为标准型等。因此，学习线性代数，一定要坚持温故而知新的学习方法，及时复习巩固，为此，教师课前的知识回顾以及学生提前预习是十分必要的。
三、加强对学生解题的基本训练
一定量的典型练习题能有助于学生深化对所学知识的理解，培养学生一题多解的能力，解题后反思，及时总结解题思路和方法。如证明抽象矩阵的可逆，就有很多方法，一是用定义。二是用秩的有关命题。三是借助于特征值理论。四是证明矩阵的行列式不为零等。
四、培养与激发学生的学习兴趣
兴趣是最好的老师。教师一方面在传授知识，另一方面要鼓励学生有针对性的设计他们的目标，这样，他们才肯自觉钻研，乐于钻研。同时，课堂教学中可选择近年来研究生入学考题及一些与实际联系较紧的题目讲解或练习，以激发学生的学习欲望，并给他们带来成功的满足。此外，还可以适当介绍一些有趣的应用典范或教学史来激发学生的学习热情，提高他们的学习兴趣。
五、发挥多媒体优势，增强教学效果
多媒体教学成为当前高校教学模式的重要手段。教师只有把传统教学手段、教师自己的特色和多媒体辅助教学三者有机结合起来，才能真正发挥多媒体课堂教学的效果。总之，教师在教学中所做的一切，其目的应在于既教会他们有用的知识，又教会学生有益的思考方式及良好的思维习惯。
参考文献：
[1]张向阳．线性代数教学中的几点体会．山西财经大学学报(高等教育版)，.
[2]于朝霞．线性代数与空间解析几何．北京：中国科学技术出版社，.
探究线性代数多媒体教学论文
[论文摘要]随着计算杌的普及与应用，多媒体教学已经逐步走进课堂，而且在现代教学中起着越来越重要的作用。本文分析了线性代数多媒体教学的优势与不足，并根据多年从事线性代数教学的经验，给出了如何将多媒体技术运用于线性代数教学的几点建议。
[论文关键词]线性代数 多媒体教学 传统教学
线性代数是理工类、经管类数学课程最重要的基础课之一，其基本内容是讲授向量空间和矩阵的理论。线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有着各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。随着科学的发展，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。线性代数对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力具有重要的作用，但普遍被学生认为是比较困难的一门课程，主要的困难是太抽象。多媒体作为一种现代的教育技术，在很多方面显示出其优越性，如何将多媒体技术与传统的教学手段良好的结合并应用于线性代数的教学中，是一个值得关注的问题。
一、线性代数多媒体教学的优势
1．扩大课堂容量，提高教学效率
教学内容多，课时少一直是很多高等学校线性代数课程的一个重要矛盾。我们都知道线性代数课堂教学的特点是板书量大，费时，费力，而用多媒体教学一些重要的定义、定理作成课件直接播放，节省了教师的板书时间，同时增加了更多的"讲解和补充其他内容的时间，可以在短时间内向学生提供更多更有效的信息，有效节省了师生的时间和精力，提高了课堂的学习效率。
2．活跃课堂气氛，增强学习兴趣
传统教学中都是教师在讲台上讲解，学生面对黑板这样单一的教学模式，利用多媒体技术，通过图像、声音、动画等形式，可以形象直观的展现一些问题的求解过程。另外，利用多媒体还可以增加数学史，数学家轶事等内容，拓展学生的知识面，从而提高了学生的注意力，降低了传统授课方式的枯燥感，增加了学生的学习兴趣。
3．提高教学质量，促进能力培养
线性代数是一门应用性很强的学科，而传统的教学模式教学效果差，不利于学生创新意识和创新能力的培养。随着科学技术的不断发展，计算机的大规模普及，使得数学实验和数学模型进入到教学环节，运用线性代数中的矩阵、线性方程组等内容建立投入产出模型、Leslie人口模型等数学模型，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力，为培养创新型人才奠定基础。
二、线性代数多媒体教学的不足
随着科学技术的发展，教学手段的日益现代化，多媒体教学已成为现代课堂教学的主要教学手段之一，其教学手段的直观性，教学内容的丰富性，使其具有广阔的应用前景。但多媒体作为一种新兴的教学手段，必然会存在着一定的不足，尤其在线性代数这门具有高度逻辑性和严密推理性的学科的教学中。例如，节奏快，不利于保持学生思维的连续性，不利于学生记笔记；纠错，应变能力差，不利于教师临场的即兴发挥；过多色彩动画、音效使学生眼花缭乱，分散学生注意力；不利于教师和学生良好的互动。“
三、线性代数多媒体教学的思考
线性代数教学中需要多媒体技术，但如何合理的将多媒体技术应用于线性代数课程的教学，是一个值得我们思考的问题。下面结合本人多年线性代数课程的教学经验，对于多媒体技术在线性代数课程中的运用给出一些建设性的建议。
1．虽然多媒体教学相对于传统的教学模式有很多的优势，但并不是所有的教学内容都适合运用多媒体教学，尤其对于线性代数这门具有很强逻辑性的学科。这就需要教师认真备课，钻研教材，根据教学内容有选择的选用多媒体教学。当然，传统的教学模式也有其优势所在，课堂上将传统的教学模式与多媒体教学良好的结合，做到优势互补，以期达到最好的教学效果。
2．色彩、声音、动画是多媒体教学的一大特色，也是最容易吸引学生的注意力，产生学习兴趣的一大亮点，但这些元素的运用不宜过多，否则将会适得其反。因此，教师在制作课件时应该注意，色彩要鲜明，但不要太花哨，声音和动画的运用不要太频繁，以免分散学生的注意力，影响学生对教学内容的理解。而且要充分利用这些优势，例如，对于一些重要的内容要用特殊的颜色加以强调，以加深学生的印象，加强学生的记忆；对于一些概念之间的联系可以采用动画的形式进行演示，使其更直观、形象，易于学生理解。
3．在进行多媒体教学时一定要注意教师与学生之间的交流和互动，把握课堂节奏，不要只顾点击鼠标，照本宣科，让学生感觉是在听报告，而忽略了学生的理鹪和接受情况。课堂上，要多提问，适当的做练习并走到学生中间，了解学生的掌握情况，以便及时调整课堂教学进度，避免教学进度过快，影响教学质量。
4．对于已经讲授完的课件可以传到校园网上，供学生浏览和下载，便于学生温习和记笔记。另外，对于一些习题，思考题也可以在网上给出简要的解题思路，供学生参考和借鉴。
四、结束语
多媒体教学作为现代化教学的一种手段在优化教学效果中起着越来越重要的作用。在教学过程中，恰当地选择运用多媒体技术，可以激发学生创造性思维，提高学生的洞察力，有效地实施素质教育。当然，多媒体也有其局限性，随着科学的发展，其作用将会更大，其局限性也将逐步减小.
独立学院线性代数教学点滴论文
独立学院线性代数教学点滴论文（1）
摘要：线性代数课程内容具有一定的抽象性，是高校公共数学教学的重点和难点之一。
指导学生熟练掌握具有应用性的知识，培养抽象思维和逻辑推理能力，是高校教师义不容辞的责任和进行教学改革的主要方向。
关键词：线性代数;独立学院;教学改革
线性代数课程内容具有一定的抽象性，是高校公共数学教学的重点和难点之一。
信息技术迅猛发展的今天，学科间不断地相互交叉、渗透，作为基础科学的数学更显示出它的广泛应用性。
指导学生熟练掌握具有应用性的知识，培养抽象思维和逻辑推理能力，是高校教师义不容辞的责任和进行教学改革的主要方向。
目前独立学院线性代数教学面临的情况，较为突出的有两个方面。
首先，教学对象即学生在快节奏的环境中成长，与以往精英教育时代学生最大的不同在于，他们思想活跃兴趣广泛，渴望学习新事物新知识，希望从老师那里学到更新、更具有实用价值的知识，这是他们的优势和特点，然而他们的生活娱乐方式多样化，节奏又快，微博、手机、QQ、看小说等情形课间随处可见，无形中对新时期教师授课提出更高的要求;其次，多年来线性代数课程教学内容基本没有太大变化。
从行列式、矩阵、线性方程组求解、向量空间到二次型，但独立学院教学学时要减少到32课时且都是大班授课，学生数学基础薄弱、独立且思考能力较差，赶进度似的匆忙输入这些内容，不可避免地使学生对线性代数产生排斥和抵触情绪。
为此教师必须精心组织教学内容，在传统教学的基础上寻找新的教学方式，达到提高教学质量和教学效果的目的。
本文结合所在独立学院的教学实践，谈谈自己的体会。
一、把握中心 紧扣主线 合理布局 突出应用
仔细看整个线性代数可以理解为围绕着线性方程组的求解展开，从开始行列式的介绍，为解决一类特殊的线性方程组铺垫，其中方程个数与未知量个数一样，之后的莱姆法则利用行列式工具把这一问题理论上解决了。
但实际计算起来未知量个数越多计算量越大，并且对于未知量个数与方程个数不等的线性方程组，此法则显然不适用，主要原因是方程组的系数已经不能构成行列式。
有人就会问：“方程个数与未知量个数不一样时线性方程组如何求解”?由此开启矩阵板块的学习。
矩阵是线性代数这门课程最重要的工具，一般方程组的具体求解和判定理论都化为矩阵的相关问题，对矩阵的方法掌握得好坏直接影响到整门课程的学习，可以从经济学中的投入产出模型和通路矩阵等实际例子引入矩阵为一数表的概念，相关性质这部分内容必须精讲。
之后用消元法求解线性方程组，这一最基本的思想学生在高中有过接触，选择两道二阶和三阶阶线性方程组为引例，先把消元法的思想交代清楚，强调保证同解只会实施三种行初等变换，关键还要将每一步求解用矩阵与之对应表示，使学生清晰地看到线性方程组的求解过程完全等同于将其增广矩阵化为标准形的过程，这是独立学院线性代数教学的重点。
这前三章的教学内容必须保证学生绝大部分都能充分理解并熟练掌握。
第四章《向量的线性相关性》概念非常抽象。
学生对“向量间的线性相关与线性无关”的定义接受起来总是很困难，多年来一直是学生学习线性代数的难点。
如何克服这个教学难点?首先在宏观上要做好与上一章节的衔接，研究对象依然是线性方程组，对齐次线性方程组我们换个角度看它，横看成岭侧成峰，写成向量形式便得到系数矩阵列向量之间的关系式。
此时开始引导学生明白这一关系式的作用，在空间解析几何上有其对应的几何意义，系数矩阵的列向量能否通过尺度伸缩变换和平行四边形法则回到原点，因此原来齐次线性方程组有非零解时，系数矩阵的列向量能够齐心协力回到原点。
从而将向量的线性相关性概念与大家熟悉的线性方程组联系起来，新问题的研究全部化为线性方程组解的判定以及它的主要工具——矩阵问题。
在这一章要给学生建立线性方程组—矩阵形式—向量形式“三位一体”的模型，形式不同实质一样，这一模型的建立和相互间的转化在本章和后续章节学习中至关重要。
那么研究向量的线性相关性对线性方程组又有什么贡献呢?慢慢给学生拨开迷雾，有了向量的线性相关与线性无关的概念，就会很自然地有了向量组的极大无关组概念。
启发学生思考：有一特殊的向量，齐次线性方程组有非零解时的解空间，它的极大无关组是什么样子呢?继而得到线性方程组解的结构理论，对比上一章按部就班的具体求解，深化了我们对线性方程组解空间的认识，对空间的面貌有了清晰准确的把握。
第五章也可以从线性方程组开启，将同学们非常熟悉的AX=b形式稍作修改为AX=y，这便是Rn→Rn空间的映射，不同于高等数学中的普通函数，举个简单的二位图案经此类线性映射后形状发生了较大的变化，学生有了一个形象直观的感觉。
结合例子提出问题，强调该变换中有一现象非常值得关注，即AX与y平行，从而引入矩阵“特征值和特征向量”的概念，步步逼近为什么叫矩阵的“特征值和特征向量”，反馈出矩阵什么样的特征呢?从而导出矩阵的可对角化问题，其中实对称矩阵的正交相似对角化问题在工程技术上有着广泛的应用，第六章的二次型可以理解为这一旧问题的重新包装。
整门课程安排上紧紧围绕中心问题，合理布局，把不同的知识串在一起，以前看起来零散的内容，忽然不再繁杂了，成为一个有机的整体。
这种分析能力同样适用于我们平时的日常生活。
二、鼓励思考 勤于实践 加强概念 归纳总结
课堂上教师以讲清主干概念为原则，枝节问题留给学生去思考、归纳，同时加入相应背景知识以增加课堂信息量。
上课前要交待清楚讲授的主要问题是什么，然后引导学生共同逐一地解决这些问题，把学生摆在解决问题的主人翁的位置，而不是要求学生被动地听课。
注意讲课的艺术性，善于提出问题并向学生寻求答案，鼓励大家思考甚至讨论也是素质教育的体现。
比如正交矩阵概念的引入，可以让学生自己动笔算算空间中n个标准正交组作列构成的矩阵，其转置与自身的乘积有什么样的效果，从而水到渠成地得到一类新的特殊矩阵，正好把以前学过的矩阵家族里的特殊成员一并复习一下。
对提出的问题一步步深入，一个个解决。
做到语言简练而不重复，重点地方应加强语气放慢速度引起重视，让学生一字一句听得清清楚楚，同时给学生一种紧迫感，让学生感觉到思维一停顿就会脱节接不上，保证上课全神贯注注意听讲。
当学生身临其境地经历提出问题、讨论问题、解决问题的过程后，最终目的还是要引导他们学会发现并找到结论，找到一个新的知识点，形成一个新的数学概念。
独立学院学生普遍不喜欢推敲抽象的理论和内容上串讲章节的基本概念和重点，他们比较乐于接受直接讲题做题，因此因材施教选取一些具有代表性的例子，哪怕是以前讲过的典型例子都可以拿过来，总结出其中的规律，理清思路，点明解决的方法，从而做到举一反三，以点带面，通过例子使学生充分理解、掌握基本内容和方法。
三、更新知识 自我提升 教书育人 教学相长
教师仅仅从教材本身来讲解本课程是不够全面的，倘若能借助各方面的知识，运用多种教学手段如matlab在线性代数中的应用举例，全方位地进行立体多维教学，对学生而言更有吸引力。
这对教师便提出了更高的要求，在课余时间多看相关参考书和资料，扩大自己的知识面，这样做无论对于教学工作、教师的自我成长和提升都有百利而无一害，参加全国教师网络培训和高校教师的暑期学校也是不错的选择。
另外，相比一般普通本科学校学生，独立学院学生有两类特征鲜明：一部分学生高中基础知识相对不错，进校后却产生迷茫找不到方向，应鼓励他们充分发挥自身潜力，尽快进行四年大学学习生活职业规划，他们是优秀班风良好学风构建的核心力量，极有可能将来成为本届学生的佼佼者和学院树立的`标杆榜样;另一部分学生是在比较优越的家庭环境中长大，习惯于对家长和老师的依赖，有一定的学习积极性但不稳定，遇到困难缺乏积极主动意识，倘若教师实时给予鼓励启发他们多思考，学会去图书馆查阅资料或与同学交流寻求帮助，这部分学生可以与前部分相得益彰，成为构建和谐向上的学习氛围的中流砥柱。
作为教师在教书的同时不忘育人，掌握他们的心理特点和需求，有了学生热情互动和参与，教学才会变得流畅实现教学相长。
参考文献：
[1]赵慧斌.问题驱动是线性代数有效的教学法之一[J].高等数学研究，，(4).
[2]周玲.《线性代数》课程教学点滴谈[J].大学数学，，(8).
线性代数教学点滴（2）
（摘要）本文总结了作者上线性代数课的一些经验，老师应该向学生讲清楚为什么必须学线性代数，要抓住核心内容和核心方法，要积累一些反例，要培养学生的团队合作精神，对优秀学生要进行特别培养，努力提高研究生升学率.
（关键词）线性代数;核心内容;核心方法;反例;团队合作
（摘要）本文从线性代数课程的特征出发，研究了在保持课程内容体系不变的前提下，通过把握主线、引入几何观点、结合代数发展史三个方面，来改进传统的线性代数课堂教学.结论表明，以上的改进不仅能减轻由于代数的抽象性带来的学习困难，达到更好的教学效果，同时能在课堂中提高学生的数学能力及数学素质，培养学生的创造性思维能力.
（关键词）线性代数;课堂教学;教学主线;几何观点;代数史
线性代数及微积分(常称为高等数学)、概率论与数理统计是当今大学生三门必修数学课.由于中学数学教材改革和新课标的实施，微积分和概率论与数理统计课程中的部分知识点已经在学生的高中阶段都有所接触，而且这两门课的大部分知识都有较为丰富的背景和应用范围.相比而言，线性代数中的行列式、矩阵概念对学生是全新的，没有在中学接触过的，就现行的大量教材来看，线性代数在内容安排上，显得逻辑性、抽象性有余，而背景性和应用性不足.
加上线性代数一般都安排课时较少，所以使得学生对线性代数课程的学习更加吃力，达到的教学效果也不尽理想.本文探讨在不改变线性代数课程内容体系的前提下，如何改进课堂教学方法，以达到更好的教学效果.
一、教学中必须把握两条主线
如前所述，与其他两门数学课程相比较，线性代数的教材编得更为抽象，更加远离现实.学生通常会觉得概念、定义多，而且由于缺乏背景，一般会显得零散，各种概念之间的联系也较难把握.在课堂教学中，必须把握线性代数课程的两条主线，才能把这些大量的概念连起来，形成一个整体.
1.第一条主线是线性方程组
求解线性方程组是线性代数课程的一个主要任务，将中学的消元法经过一次抽象，就是线性代数中矩阵的初等变换概念.根据各种方程组的特点，形成了线性代数课程中一系列概念和方法.当未知数个数与方程的个数相等的时候，行列式可以派上用场，于是引出了行列式的初等变换、求值、克莱姆法则等相关概念.对一般的线性方程组，我们用秩来描述“真正起作用的方程的个数”，方程组的有解无解，有唯一解还是无穷多解，自由未知量的个数，都可以用系数矩阵的秩和增广矩阵的秩来理解了.
为了对无穷多解有更深入的认识，把方程组的解看成向量，对齐次线性方程组，就需要引入向量空间的概念，这样就不难理解线性相关与线性无关、最大线性无关组这一连串的概念了.可见，抓住了线性方程组这条主线，就可以把行列式、矩阵、向量组这些概念合理地联系起来了.
2.第二条主线是二次型的标准化
解析几何中很重要的一个主题就是要把一些二次曲线方程化为只含有平方项的二次型，以便研究曲线的类型，这就是我们所谓的二次型化为标准二次型.利用矩阵这一工具来完成这个过程，需要从矩阵的特征值和特征向量出发，来讨论实对称矩阵的对角化问题.线性代数课程一般给出了三种化二次型为标准二次型的方法，着重讨论的是用正交变换的方法.
在课堂上，抓住这样两条主线，不但可以避免概念的零碎，而且对学生掌握线性代数整个课程体系也是非常有帮助的`.
二、在课堂上引入几何的观点来介绍代数知识
大部分线性代数教材都从知识结构的逻辑性来安排内容，使得代数知识以抽象的面孔出现在学生面前.事实上，在中学阶段，学生学习初等代数时，是非常注重代数与几何之间的结合的.数形结合不仅有利于降低学生的理解难度，也是掌握代数思想的一个必然要求.如何用几何的观点来学习代数，是一个在线性代数的课堂教学中值得思考的问题.
(5)的解即为方程组(2)的满足整体误差最小的近似解，这就是最小二乘法求最优近似解的结果.从上面的例子可以看出，直观的几何意义使得很多推算得到了简化，更能让学生加深对概念和方法的理解.
三、从代数发展历史的角度来讲线性代数课程
前面提到，大部分教材的编排由于注重严格系统化的形式推理，都不可避免地使线性代数抽象性特征明显，我们在课堂教学中，不妨灵活处理知识的来龙去脉，站在从知识发展的历史的角度来认识这门课程，这也是引起国外越来越多大学重视的一种教学方式.SpringerVerlag出版社出版的大量大学数学教材，就是基于这一观点来编写的.
，普林斯顿大学出版社出版了《普林斯顿数学指南》(the Princeton Companion to Mathematics)，这是一本数学综合类的普及读物，全书共有一千多页，尽量用浅显的语言，把现代数学知识的来龙去脉解释清楚.在线性代数的课堂教学中，如果能借鉴这种从知识产生历史角度来讲授知识，不仅能让学生理解知识之间的内在联系，更为可贵的是，能把很多数学大家当时对这些数学问题的思考过程呈现在学生面前，对学生创造性思维的形成过程大有益处.
四、结 语
线性代数课程由于其自身的特征给教学带来一定的难点，如何在不改变课程知识体系的前提下，达到较好的教学效果，让学生能在抽象的代数学习中，接受知识，形成创造性思维方式，提高数学能力和素养，是每个大学数学教师面临的一个重要课题.本文从教学实践中，结合国内外相关的数学教育理论，提出了几条相应的措施.要提高教学质量，需要长时间在实践不断去完善教学手段和教学方法，唯有高质量的课堂教学，才能保证线性代数课程较好的教学效果.
（参考文献）
[1]同济大学数学系编.线性代数[M](第六版).北京：高等教育出版社.
[2]杨小远，李尚志.大学一年级学生创新能力培养探索与实践[J].大学数学，(4)：13-21.
[3]李大潜 漫谈大学数学教学的目标与方法[J].中国大学教学，(1)：7-10.
[4]刘春林，李宝娣.线性代数教学方法探索[J].衡阳师范学院学报，2012(3)：153-155.
[5]李尚志 线性代数新教材之精彩案例(之二)[J].大学数学，2012(4)：5-12.
[摘要]在大类招生背景下，线性代数是浙江大学大类课。
它的教学效果对学生今后的学习是至关重要的。
本文是作者在浙江大学教学中总结出课堂教学的一些策略和方法。
[关键词]线性代数;课堂教学;方法
一. 浙江大学线性代数现状
大学基础数学课程(主要指微积分、线性代数、概率论与数理统计)，是重要的大学基础课之一。
基础知识的学习可以受用终身。
如果没有打下良好的基础，学生很难真正理解高深的应用技术。
这是因为数学的理论与方法已被广泛应用于自然科学、工程技术及工农业生产的各个领域，数学技术已成为高技术的突出标志和重要组成部分，数学的影响和作用已深入到各个行业，可以说是无处不在。
线性代数是让学生通过抽象性、逻辑性、应用性的必要训练，逐步形成运用线性代数的原理和方法解决实际问题的思维模式和思维习惯，提供进一步学习所必备的代数知识.公理化演绎的思想(如：线性空间等各类代数系统)，分类的思想(如：矩阵的相似等等各种等价关系)，相互关联的思想(如：同态等各种形式的映射)，矩阵的方法，初等变换的方法，抽象推理的方法…等等，是以后进一步学习和研究的基本思想。
浙江大学在四校合并以后，经过多年的调整，承担课程教学的主要队伍已经稳定。
在相对稳定的11人教学队伍中有教授4名，副教授6名。
获博士学位的有8位，承担课程的老师均为中青年教师，教学效果良好。
现有的教学队伍基本上能够以科研来带动教学的改革，把课程的前沿知识、研究现状和发展趋势，及时贯彻到教学过程中，常讲常新。
这为新的课程建设和课堂教学改革的开展提供了良好的队伍基础。
在每学期开学之时，我们按时确定学期的教学内容安排，制定教学日历，并
按照规定把教学资料上传网络。
教学期间，严格按照制定的教学安排实施教学，每周安排两位教师答疑;期中时举行教学研讨会交流经验，开展为青年教师的集体备课等活动;期末时，集体讨论评分标准，集体改卷。
这些规范化的管理，为我们实施课程教学改革提供了良好的保证。
线性代数是浙江大学的校精品课程，得到学校的大力支持。
目前，浙江大学的线性代数正着手推进省精品课程，在推进过程中，我们不断锐意改革，总结了一套很好的课堂教学方法。
针对浙江大学理学院大类招生制度的建立，由于培养模式的改变，为了使教学内容更大范围覆盖学生类别，我们编写了适合大类招生需求的《高等代数》 教材，增加小字部分的内容提高难度，以适应对数学有较高要求的学生。
原先教师都采用陈维新编的线性代数教材。
由于新教材的采用，如何适应新教材的教学，特别是组织课堂教学，成为一个重要的课题。
二.课堂教学改革
1.传统教学手段与现代教学手段灵活运用
传统的教学一般采用前苏联教育家凯洛夫的“五段式教学”，即组织教学、检查旧课、讲授新课、巩固新课和布置作业。
由于数学学科的特点，传统的利用黑板板书的教学模式，在线性代数教学中有着现代教育技术所不具备的优势。
线性代数涉及很多数学符号和复杂的计算，所以现代教育技术有着克服不了的困难。
在教学过程中，我们采用由单纯的PPT课件的教学以及单纯的板书教学，过渡到把两种授课方式结合在一起的教学模式中，并积累了一定的经验取得了良好的教学效果，提高授课的质量。
2.强调把建模思想融入线性代数教学
以线性方程组为主线，矩阵为工具，介绍线性代数的基本知识、基本理论和
线性规划模型以及整数规划模型，突出学生应用数学方法和现代化计算工具解决
各种实际问题的能力培养，注重于建立模型方法的介绍和实际应用。
例如教师
在教学过程中可以介绍一些网络流模型。
网络流模型广泛应用于交通、运输、通讯、电力分配、城市规划、任务分派以及计算机辅助设计等众多领域。
通过这些模型的介绍，可以激发学生学习兴趣，以模型带动理论教学有意想不到的效果。
浙江大学在这方面有过成功经验，并且在期末考题融入建模试题。
3.从实际出发，注重概念与定理的直观描述和实际背景，再讲逻辑推理。
本课程是理论型的课程，没有实验部分。
我们提出在数学教学中要返璞归真，从源头讲起，讲清楚问题产生和发展的过程，讲明道理，再讲推理，然后再抽象化和形式化.通过习题的练习，使学生掌握、熟悉基本内容和基本技巧，以附录的形式在学习到相关章节的时候，向学生提供具有实际意义的背景资料，拓宽学生的知识面，这在以前的教学活动中并不常见。
由于教学课时的限制，这部分背景资料的学习，并不占用课堂时间。
在教学内容上，在保留我国传统的重归纳、演绎、推理的基础上，更注重分析、综合的思想。
对一些重要的概念的引入，注重概念实际背景的分析与教学。
许多定理的结论与条件用发现探索的方式引出并用分析、综合的方法给予证明，激发学生的探索精神并对定理深入理解。
4.基于问题的探究式教学
根据不同情况学生的不同特点，参照在教学过程中积累的经验，教师在课堂有
导向性向各个由学生组成的小组提出一些问题，要求学生理解并作适当的回答。
对于学生而言，他们需要在小组中讨论这些问题，并对这些问题的定义，性质以及如何应用等等做出解释。
在问题的构思上必须精心设计，做到既要使学生以现有的知识水平无法轻易回答问题，又对课堂教学有实际意义。
这样，在小组讨论中，学生容易会对讨论的主题抱有种种疑惑。
而为了解决这些疑惑，学生就要通过各种渠道进行自主学习，从而最终得到问题的答案。
5.开通微博微信答疑：
利用学校提供的先进的技术教学平台，助教把批改作业时发现的典型错误公布
在网上，学生思考，找出错误原因。
学生有问题可以发布在网络课程中的问题集锦里，由教师、助教，也可以是学生来回答，共同讨论。
教师、助教在网络虚拟课堂与学生进行交流，使学生对教学内容有了深刻理解，提高了学习质量。
课堂上，讲重点，讲知识的背景与形成过程，揭示知识的内在联系，充分调动学生的积极性、主动性;自学是指有些教材内容则采用学生自学为主，教师给出思考题，课后下班辅导及答疑.去年开始，开通我们开通微博微信答疑，笔者可以通过移动网络随时与学生互动答疑，效果非常好。
三.课堂教学改革的亮点
强调团队合作精神，提倡自主学习，互相讨论、团队讨论、问题发现、师生探讨法。
将数学建模思想和方法融入到线性代数的教学，将数学建模教学中的教学理念、教学内容、模块化教学、案例教学等方法引入线性代数教学，推进线性代数教学改革。
首次提出开通微博微信答疑，学生有问题老师可以通过网络、手机等及时解答学生问题。
参考文献：
[1]黄正达，李方，温道伟，汪国军.高等代数(上册)[M].浙江：浙江大学出版社，.
[2]李方，黄正达，温道伟，汪国军.高等代数(下册)[M].浙江：浙江大学出版社，.
考研线性代数重点内容与题型总结
考研阶段大致有依次下面几个阶段：基础阶段、强化阶段、冲刺阶段，前面每个阶段如果走的更好更快，那么将为以后的阶段提供足够空间，反之可能打乱复习进程。越是到后面，考生越是要坚持两条腿走路，即知识点总结和题型总结。也就是要把书由厚读到薄，把知识转化成自己的东西，这样才会越学越轻松。线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视。和高数与概率统计相比，由于线性代数的学科特点，同学们更应该要注重对知识点的总结。线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，同学们必须注重计算能力。线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做总结，希望对同学们复习有帮助。
一 行列式
行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式。如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现。所以要熟练掌握行列式常用的计算方法。
1重点内容:行列式计算
(1) 降阶法
这是计算行列式的主要方法，即用展开定理将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。
(2) 特殊的行列式
有三角行列式、范德蒙行列式、行和或列和相等的行列式、三线型行列式、爪型行列式等等，必须熟练掌握相应的计算方法。
2常见题型
(1) 数字型行列式的计算
(2) 抽象行列式的计算
(3) 含参数的.行列式的计算。
二 矩阵
矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础。矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终。这部分考点较多。涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题。有些性质得证明必须能自己推导。这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题。
1重点内容：
(1) 矩阵的运算
(2) 伴随矩阵
(3)可逆矩阵
(4)初等变换和初等矩阵
(5)矩阵的秩
2常见题型：
(1)计算方阵的幂
(2)与伴随矩阵相关联的命题
(3)有关初等变换的命题
(4)有关逆矩阵的计算与证明
矩阵可逆有哪几种等价关系?如何判别?都必须熟练掌握。
(5)解矩阵方程。
三 向量
向量部分既是重点又是难点，由于n维向量的抽象性及在逻辑推理上的较高要求，导致考生在学习理解上的困难。考生至少要梳理清楚知识点之间的关系，最好能独立证明相关结论。
1重点内容：
(1) 向量的线性表示
线性表示经常和方程组结合考察，特点，表面问一个向量可否由一组向量线性表示，其实本质需要转换成方程组的内容来解决，经常结合出大题。
(2)向量组的线性相关性
向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。同学们一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解。
(3) 向量组等价
要注意向量组等价与矩阵等价的区别。
(4) 向量组的极大线性无关组和向量组的秩
(5) 向量空间
2常见题型：
(1)判定向量组的线性相关性
(2)向量组线性相关性的证明
(3)判定一个向量能否由一向量组线性表出
(4)向量组的秩和极大无关组的求法
(5)有关秩的证明
(6)有关矩阵与向量组等价的命题
(7)与向量空间有关的命题。
四 线性方程组
往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容。但也不会简单到仅考方程组的计算，还需灵活运用，比如的线性代数第一道解答题，粗看不是解方程组，如果你光会熟练计算方程组而不知如何把问题归结为解线性方程组，那么你会有英雄无用武之地的感叹，就像一个人苦练屠龙本领，结果却发现无龙可屠。
1重点内容
(1) 齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构
(2) 齐次线性方程组基础解系的求解与证明
(3) 齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论)。
2常见题型
(1)线性方程组的求解
(2)方程组解向量的判别及解的性质
(3)齐次线性方程组的基础解系
(4)非齐次线性方程组的通解结构
(5)两个方程组的公共解、同解问题。
五 特征值与特征向量
特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大。
1重点内容
(1) 特征值和特征向量的概念及计算
(2) 方阵的相似对角化
(3) 实对称矩阵的正交相似对角化。
2常见题型
(1)数值矩阵的特征值和特征向量的求法
(2)抽象矩阵特征值和特征向量的求法
(3)判定矩阵的相似对角化
(4)由特征值或特征向量反求A
(5)有关实对称矩阵的问题。
六 二次型
由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础。
1重点内容：
(1) 掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩和标准形等概念;
(2) 了解二次型的规范形和惯性定理;
(3) 掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形;
(4) 理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法。
2常见题型
(1) 二次型表成矩阵形式
(2) 化二次型为标准形
(3) 二次型正定性的判别。
同学们可以对照以上内容和题型，多问问自己是否已熟练掌握相关知识点和对应题型的解答。应该说考研数学最简单的部分就是线性代数，其计算都是初等的，小学生都会，但这部分的难点就在于概念非常多而且相互联系，线代贯穿的主线就是求方程组的解，只要将方程组的解的概念和一般方法理解透彻，再回过头看前面的内容就非常简单。同时从考试内容来看，考的内容基本类似，可以说是最死的部分，这几年出的考试题实际上就是以前考题的翻版，仔细研究一下以前考题对大家是最有好处的。
考研数学大纲线性代数重要知识点总结
20考研数学大纲与20相比，没有任何变化。近5年的数学大纲保持稳定，相对应的真题的题型与难度也是比较稳定的。因此对于线性代数这门考试科目，建议广大学子抓住重点难点，把基础知识“点”串联成“面”，再配以典型题目构架成完善的知识“体”，这样才能做到在考研这一战场上于线代阵中将分数收入囊中而丝毫不费吹灰之力!
下面某教育机构陈老师结合最新的考研数学大纲，针对线性代数的重要知识点给大家做一下总结：
一、行列式与矩阵
行列式、矩阵是线性代数中的基础章节，从命题人的角度来看，可以像润滑油一般结合其它章节出题，因此必须熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式――具体行列式的计算和抽象行列式的计算。其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型，主要方法是应用行列式的性质及按行(列)展开定理化为上下三角行列式求解;而对于抽象行列式而言，考点不在如何求行列式，而在于结合后面章节内容的比较综合的题。
矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵各种运算律、矩阵相关的重要公式、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。
二、向量与线性方程组
向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，而其后两章特征值和特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。
向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。
这部分的重要考点一是线性方程组所具有的两种形式――矩阵形式和向量形式;二是线性方程组与向量以及其它章节的各种内在联系。
(1)齐次线性方程组与向量线性相关、无关的联系
齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立――印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。
齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解;②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立;但向量部分中判断向量组是否线性相关、无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系――齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关、无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。
(2)齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系
同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的`。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过 “秩→线性相关、无关→线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。
(3)非齐次线性方程组与线性表示的联系
非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示，使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。
三、特征值与特征向量
相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容――既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关性，“牵一发而动全身”。
本章知识要点如下：
1. 特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。
2. 相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似、等价与合同：
3. 矩阵可相似对角化的条件，包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件一是n阶矩阵有n个线性无关的特征值;二是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。
4. 实对称矩阵及其相似对角化，n阶实对称矩阵必可正交相似于以其特征值为对角元素的对角阵。
四、二次型
这部分所讲的内容从根本上讲是特征值和特征向量的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵，必存在正交矩阵 使其可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。
本章知识要点如下：
1. 二次型及其矩阵表示。
2. 用正交变换化二次型为标准型。
3. 正负定二次型的判断与证明。
考研线性代数重点内容和典型题型总结
考研线性代数重点内容和典型题型总结，线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，专家们提醒广大的的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，考研教育网就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对20考研的同学们学习有帮助。
行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式（行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等）的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。
矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的`计算与证明、解矩阵方程。
向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。2012年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。
往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次（非齐次）线性方程组的求解（含对参数取值的讨论）.主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。
特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化.重点题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、由特征值或特征向量反求A、有关实对称矩阵的问题。
由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础.重点内容包括：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩和标准形等概念；了解二次型的规范形和惯性定理；掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形；理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法.重点题型有：二次型表成矩阵形式、化二次型为标准形、二次型正定性的判别。
加强线性代数的教学?提高学生的数学能力
加强线性代数的教学 提高学生的数学能力基金项目：湖南省普通高等学校教学改革研究资助项目（湘财教指74号）
作者简介：陈佘喜（1965-），男，湖南邵东人，教授，硕士生导师，主要从事应用数学的教学与研究。
陈佘喜
（湖南科技大学 数学与计算科学学院，湖南 湘潭 411201）
摘要：线性代数是理工科各专业一门重要的基础课。本文结合线性代数课程的基本内容，从数学材料概念化的能力、用数学符号进行运算的能力、思维的逻辑性、思维的创造性、数学记忆能力与空间想象能力等方面阐述了数学能力的培养，并从教学环节方面探讨了提高学生的数学能力的若干途径。
关键词：线性代数；数学能力；培养途径
中图分类号：O157，G420文献标识码：A文章编号：1674-588404-0109-03
线性代数是理工科各专业一门重要的基础课，为学生学习后继课程提供必要的有关矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换等方面的基本概念与基础理论，以及处理实际问题的基本方法［1-4］。众所周知，数学能力是学生完成数学活动的可能性方面的个性心理特性，是顺利完成数学活动的必要的心理条件［5, 6］。数学活动主要是通过思维与想象，形成和掌握数学的基本概念、基本理论以及常用的数学方法，进而应用数学知识解决相关的实际问题。数学能力是在数学活动中形成和发展起来的，并在数学活动中得到表现，但同时它又是学生进行数学活动的条件与保证，是由数学活动所要求的多种基本能力的有机组合，也就是学生的一般能力在数学活动中的具体化。本文将结合线性代数课程教学的基本内容，从数学材料概念化的能力、用数学符号进行运算的能力、思维的逻辑性、思维的创造性、数学记忆能力与空间想象能力等方面阐述数学能力的培养，并从教学环节方面探讨了提高学生数学能力的若干途径。
一把握教学内容，培养数学能力
（一）数学材料的概念化
数学材料的概念化，就是通过分析给定的数学材料的数量关系与空间形式，抽象出本质的东西进行科学概括，也就是用数学概念来描述材料的本质特征。矩阵是线性代数课程中最基本的概念，从历史上看，我国东汉初年《九章算术》中的“方程术”，其实质就是解线性方程组的高斯消元法。作为一个数学概念，矩阵（matrix）这个词是在1850年由英国数学家、剑桥大学教授Sylvester首先提出来的。利用矩阵的概念，人们将在生产实践中需要处理的一组相互独立的数据，以表格的形式系在一起，视为一个整体，用一个量来表示，并参与运算，就使原来庞大而杂乱的数据，变得简单而有序。特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，其反映了线性变换的本质特征，因为在将一个线性空间变换到自身的过程中，特征向量就是保持“同向”或“反向”、“伸长”或“缩短”的那些向量，而“伸长”或“缩短”相同“倍数”的向量就是属于同一“特征值”的特征向量。在德语与荷兰语中，特征值（eigenvalue）与特征向量（eigenvector）中的“特征（eigen）”的意思就是“事物的某些本质属性”。
数学材料的概念化，表现在学生能够按照新的观点来对待和处理各个阶段所积累起来的数学知识，并把以前好象是零散的和孤立的事实和概念组织和联合起来，使之成为一个有机的整体。例如，矩阵的初等行变换是线性代数课程中一个重要的方法，最初的引入似乎仅仅是为了简化表示用高斯消元法求解线性方程组的过程，而随着课程的深入，初等行变换也可以用来求矩阵的秩、判断向量组的线性相关性、求向量组的极大线性无关组、求矩阵的逆，甚至可以用来做矩阵的三角分解等等，这样，通过矩阵的初等行变换，将线性代数课程中有关的重要概念、定理和方法连成了一个有机的整体。
线性代数课程中的数学模型，是数学材料概念化的一种重要形式，它是在一定的假设条件下，将实际问题用数学语言表达出来的一种方式，能反映或近似反映该问题的数量关系。例如，在工厂考虑生产成本的问题中，若用mij表示生产第j种单位产品所花的第i类成本，则矩阵M=（mij）表示生产各种单位产品所花费的每类成本，若用P=（pij）表示第i种产品在第j个季度的产量，那么，乘积MP中第i行第j列的元素就表示在第j个季度所花的第i类成本的量，而且MP的列和为每个季度的总成本，行和为全年的各类成本。
（二）用数学符号进行运算
数学概念揭示了事物在变化的数量关系与空间形式上的本质特性，它们是通过构造相应的量化模式来明确定义的，并表达为一定的术语与特定的符号。n阶行列式的概念，反映了n2个数之间的一种运算关系，这种关系就是先在行列式中每行每列各取一个数做乘积，再求所有这种可能的乘积项（共有n!项）的代数和，从函数的观点来看，行列式就是一个n2元的函数。数学中的基本定理，揭示了数学概念之间的必然联系，反映了数学符号之间的内在关系。行列式按行（列）的展开定理，反映了行列式与其一行（列）元素及相应的代数余子式的关系，而更为一般地，拉普拉斯定理表明了如何将高阶行列式转化为若干低阶行列式的计算；方阵的伴随矩阵的性质：AA*=A*A=AE，反映了方阵A、伴随矩阵A*与行列式A之间的联系，同时也展示了行列式的展开定理的本质，更进一步地，如果A≠0，上述性质还可以给出逆矩阵A－1的一个表达式。
能否正确地运用数学符号进行运算，是学生数学能力高低的直观表现。在矩阵阶梯化过程中，如果不同矩阵之间用“=”连接，就说明了学生对于矩阵相等的概念是模糊的。对于多项式f（x）=a0+a1x+…+amxm与方阵A，若将f（A）表示为a0+a1A+…+amAm，则说明学生对形式多项式的概念还停留在数多项式的阶段，并未理解矩阵多项式的概念，而能力较强的学生，则能立即发现上述表达式的错误，因为后者在一般情况下是没法进行矩阵加法运算的。实际上，由矩阵幂的定义，A0=E，因此，f（A）=a0E+a1A+…+amAm。
（三）思维的逻辑性
逻辑思维就是按照逻辑规则而进行概念的运演来取代作用于现实事物的行动的思维。线性代数中内在的逻辑建构，决定了逻辑思维能力是学生数学能力不可或缺的成份，同时也为学生的逻辑思维训练提供了极为有利的条件。
逻辑思维的一个方面是分析思维，表现在对数学概念的定义、运用和对概念的分类，以及推理的形式和方法。例如，在证明矩阵乘积的秩不超过每个因子的秩时，由表达式AB=C可知，乘积矩阵C的每个行向量都可以经矩阵B的行向量组线性表出，因此，矩阵C的行向量组的极大线性无关组也可以由B的行向量组的极大线性无关组表出，于是rank（C）≤rank（B）；同时，因为BTAT=CT，故又有rank（C）=rank（CT）≤rank（AT）=rank（A）。
逻辑思维另一重要的方面是辩证思维。它在数学概念中的体现，一是将形成的数学概念具体化，把反映事物单一属性的数学概念与事物的多样性统一起来，更全面地认识客观现实；二是将数学概念分化与推广，正确区分概念间的联系与区别，把握数学的逻辑建构。例如，给定了n维线性空间的一组基，则其上所有的线性变换与所有的n阶方阵之间存在一一对应的关系，由此，当线性空间的基发生变化时，线性变换的矩阵也会发生变化，这种变化规律就是方阵间的相似关系，并且由矩阵乘法的运算律可以断言，线性变换的乘法满足结合律，但一般不满足交换律。
（四）思维的创造性
思维的创造性指思维活动的方式不仅善于求同，更善于求异。创造性思维是有目的、受支配的创造性想象，也是为解决问题的反复、有步骤和连贯的思考。创造性思维的结果，不单纯是应用已知的概念和方法，还要创造新的形象、意义与方法，并利用它们来揭示问题新的特性和解决问题。创造性思维主要表现在以下三个方面：
一是对已有的数学概念和方法进行最严格的评价，进而突破其局限性。例如，克拉姆法则是一个经典的关于线性方程组的求解公式，它明确给出了线性方程组的解与系数之间的关系，在线性方程组理论中有着非常重要的作用，然而，其局限性在于，一是只适合于方程组含n个未知量和n个方程，且系数行列式不为零的情形，二是当n≥4时，计算量比较大。因此，突破这种局限，寻求一种更为有效的线性方程组的解法，是势在必行的，也就是熟知的高斯――若当消元法。
二是能顺利地从一种心理运算转移到另一种心理运算，寻求解决问题的简捷方法，象简单结构的推理、一题多解等。例如，一个n元线性方程组可以写成向量方程α1x1+α2x2+…+αnxn=β的形式，则该n元线性方程组的解的问题等价于向量β由向量组α1，α2，…，αn的线性表出的问题；特别地，齐次线性方程组是否有非零解等价于向量组α1，α2，…，αn是否线性相关。进一步地，矩阵关系式AB=O表明，只要A≠O，B的行向量组就是线性相关的，B的列向量也是齐次线性方程组AX=0的解向量，因此，B的列空间是AX=0的解空间的一个子空间。
三是不使数学材料迁就于现成的概念，而是善于用材料来检验这些概念。在建立数学模型的过程中，这方面的能力就得到了比较充分表现。同样的数学材料，运用不同的假设条件和相应的数学概念，可以建立不同的模型，应用不同的解题方法或技巧，又可以得到不同的结果，而对于这些结果的分析，与实际数据的吻合程度，就可以在一定程度上检验所运用的"知识的合理性。
（五）数学记忆能力
数学记忆能力是对于数学的量化模式及逻辑建构的记忆力，记忆的主要形式是逻辑记忆与概念记忆。例如，关于向量组的线性相关性的一些判定定理和性质定理，学生在学习过程中经常出现对定理的条件与结论不熟悉、运用出错，实际上，这些定理大部分是以“等价命题”的形式给出的，因此，从一个基本的结论出发，就可以推及其他；此外，基本定理的证明方法都是基于线性相关性的定义结合线性方程组的同解变形。
应当注意的是，记忆能力与学生的注意力和定势有关，注意力集中，才能排除来自外界的大量无关的“干扰”，包括其他学生的行为、教师的外貌、教室内外不断发生的微小事件等等，才可能对教师的演示和语言等信息有较好的理解和加工，达到对知识的记忆。记忆能力也与知识的内容、表现形式、难度和可理解性等有关，因此，往往看到同一个学生对不同内容的记忆程度表现有较大的反差。
（六）空间想象能力
空间想象能力与数学所研究的对象所处的空间形式有关，要求能对空间的几何体进行剖分，能借助空间图形来反映量化的数学表达式的意义。例如，对于特征值与特征向量的定义式Aξ=λξ，在二阶的实矩阵的情形时，A定义了一个从R2到自身的映射，在此映射下，二维向量ξ的像只是原像的λ倍，从几何上看，像与原像平行。又如，在二维平面上的2个不共线的向量可以张成一个平行四边形，而该平行四边形的有向面积就是以这2个向量的坐标作为列向量的二阶行列式的值；在三维空间中的3个不共面的向量可以张成一个平行六面体，而其有向体积就是以这3个向量的坐标为列向量的三阶行列式的值。以此类推，在n维空间里给出了n个向量后，它们也能够张成一个n维的平行多面体，它的有向体积就是由这n个向量的坐标为列向量所构成的n阶行列式的值。
二优化教学环节，提高数学能力
数学能力与数学基础知识、数学技能密切相关又相互区别。扎实的数学基础知识与熟练的数学技能有助于数学能力的提高，反之亦然。因此，数学能力的培养与数学基础知识和数学技能的培养是相辅相成，密不可分的。从教学环节来看，数学能力的培养途径大致如下：
（1）组织教学内容。一般说来，对于教学内容的组织有2种方式，一是综合法，即教学材料的选择应该有助于使学生了解教学目的和唤起掌握知识的欲望，在学习中不断寻找和试探正确的解决问题的方法，分析所犯错误并改正错误；二是分析法，即从标准形式相似的基本内容开始练习，练习的内容应该有助于对结果的了解，在练习中通过不断牢记正确的东西，将它们逐渐联合成一个有机的整体。
（2）选择教学方法。基本的教学方法不外乎3种，一是对原则的教学，就是预先将一般的原理、公式、定理或算法的内涵传授给学生；二是范例教学，就是使学生在理解和应用数学材料的进程中亲自发现这些材料的本质关系；三是思维结构定向的教学，就是教学生学会一些解决问题的方法，再启发他们寻找对象的一些特征，并借助于这些方法和特征来发现对象之间的必然关系，从而揭示出数学材料的本质关系。但无论选择哪种教学方法，都要注意到先使学生掌握知识内容，再独立运用知识，然后将所学的内容迁移到新的情境，即启发学生积极思维。
（3）加强实践环节。比如数学实验、数学建模、课外科技活动和传统的课外作业等，都是重要的实践教学。在数学的实践教学中，要注意使学生能利用所学的理论知识来阐明一些客观事物的本质和成功地解决某些理论或实践课题。一般的做法是先阐明解答问题的原则，再指出对课题来说有关重要的资料和关系，即所谓的提示，使学生更加清楚地感知课题有关的未知关系，然后对课题的解答进行分析，使学生区分出解答课题时所需要的本质关系和材料。
总之，在数学能力的培养过程中，既要将数学知识和数学技能紧密结合起来，也要注意到学生的个性心理特征，才能收到比较好的效果。尤为重要的是，我们不仅要使学生精通数学概念和数学方法，更要使学生了解发现这些概念和方法的局限性，看到客观事物和关于客观事物的观念之间的区别，从而能够走上用直接同事物和现象的相互作用所产生的视觉来洞察事物的道路，即具备创造性思维，这才是能力培养的根本目的所在。
参考文献：
［1］ 同济大学应用数学系。线性代数（第四版）［M］。北京：高等教育出版社，.
［2］ 北京大学数学系。高等代数（第三版）［M］。北京：高等教育出版社，.
［3］ 陈怀琛，高淑萍，杨威。工程线性代数［M］。北京：电子工业出版社，.
［4］ Leno S J. Linear Algebra with Applications［M］。北京：机械工业出版社，2007.
［5］ 曹才翰，章建跃。数学教育心理学［M］。北京：北京师范大学出版社，.
［6］ M. 克莱因（北京大学数学史翻译组译）。 古今数学思想［M］。上海：上海科学技术出版社，1980.
Mathematica在线性代数教学中的应用
本文介绍了数学软件的.重要性,探讨了数学软件在教学中的应用,在教学过程中使用数学软件可以优化教学效果,提高学生的计算机应用水平.
作 者：张坤 ZHANG Kun ?作者单位：山东政法学院山东,济南,250014?刊 名：科技信息?英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION?年，卷(期)：?”“(7)?分类号：G64?关键词：线性代敷 ??数学软件 ??教学教学 ?线性代数中运用多媒体教学的思考
随着计算机技术的迅猛发展,多媒体技术广泛地应用于教育教学各领域,为教学提供了新的`手段,注入了新的活力.笔者就高等学校线性代数课程教学中运用多媒体教学展开了论述.
作 者：袁慧 ?作者单位：武汉工业学院工商学院基础部,湖北?武汉,430065?刊 名：科教文汇?英文刊名：THE SCIENCE EDUCATION ARTICLE COLLECTS?年，卷(期)：2009?”“(12)?分类号：G434?关键词：线性代数 ??多媒体教学 ??探讨 ?工科线性代数课程教学中的几点建议
根据线性代数课程的特点,结合自身教学、科研实践,针对教学目的、课程教学体系和教学原则三方面提出了建设性对策.
作 者：于勇 ?作者单位：攀枝花学院计算机学院,四川?攀枝花,617000?刊 名：科教文汇?英文刊名：THE SCIENCE EDUCATION ARTICLE COLLECTS?年，卷(期)：2009?”\"(12)?分类号：G642?关键词：线性代数 ??课程教学 ??建议 ?扩展阅读：
